“不给力啊,老湿!”:RSA加密与破解

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

加密和解密是自古都有技术了。老要 想看 侦探电影的桥段,勇敢又机智的主角,拿着一长串毫无意义的数字苦恼,忽然灵光一闪,翻出一本厚书,将第三个白 数字对应页码数,第五个数字对应行数,第三个白 数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义句子:

Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

主角喜极而泣……

许多加密法子是将原来的一种生活生活信息按照某个规律打乱。一种生活生活打乱的法子就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密,而接收信息的人利用相同的密钥,来给信息解密。就好像三个白 带锁的盒子。发送信息的人将信息装进盒子里,用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同三个白 密钥,许多加密称为对称加密(symmetric encryption)。

由于一对一句子,越来越两人须要交换三个白 密钥。一对多句子,比如总部和多个特工的通信,依然能否使用同一套密钥。但许多情况表下,对手偷到三个白 密钥句子,就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果,全都 都来自于破获许多对称加密的密钥。

二战中德军的传奇加密机:Enigma

为了更安全,总部须要给每个特工都设计三个白 不同的密钥。由于是FBI原来庞大的机构,恐怕好难维护越来越多的密钥。在现代社会,每自己的信用卡信息都须要加密。一一设计密钥句子,银行怕是要跪了。

对称加密的薄弱之处于于给了不要 人的钥匙。由于只给特工锁,而总部保有钥匙,那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里,谁也打不开,除非到总部用唯一的一把钥匙打开。只是我原来句子,特工每次出门都有带上许多锁,太容易被识破身份了。总部老大想了想,干脆就把造锁的技术公开了。特工,由于任何其它人,能否就地取材,按照图纸造锁,但无法根据图纸发名的故事钥匙。钥匙越来越总部的那一把。

上方的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁,并越来越知道钥匙。原来,银行能否将“造锁”的法子表态给所有用户。每个用户能否用锁来加密自己的信用卡信息。即使被别人窃听到,只是我用担心:越来越银行才有钥匙呢!原来一种生活生活加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。

为了了解RSA加密,请听三个白 卧底的自白:

RSA加密

我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的法子发送到总部:

A CHEF HIDE A BED

厨子藏起来了一张床!这是越来越的重要,须要立即通知总部。千万重要的是,越来越让反革命的厨子知道。

第一步是转码,也只是我将英文转上加某个对应的数字。许多对应很容易建立,比如:

A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9

将上方的信息转码,获得下面的数字序列:



A CHEF HIDE A BED 1 3856 8945 1 254

这串数字删改越来越许多秘密可言。厨子发现了这串数字很久,很容易根据数字顺序,对应字母表猜出来。

为了和狡猾的厨子斗智斗勇,人们都都须要对这串数字进一步加密。使用总部发我能 们的锁,三个白 数字:3和10。人们都都分为两步出理 。

第一步是求乘方。第三个白 数字是3,也只是我说,总部指示人们都都,求上方数字串的3次方:

原字符串: 1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

三次乘方: 1  27 512 125 216 512 729  64 125   1   8 125  64

第二步是求余数。第五个上锁的数字是10,将上方每个三次乘方除以10,获得其余数:

余数: 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

将这串数字发回总部。中途被厨子偷想看 ,但一时越来越了解其中的意思。由于还是像刚才一样对应字母表句子,信息是:

AGBEFBIDEAHED

这串字母删改不涵盖正常的单词。

信息到了总部。总部之前 开始了用神奇的钥匙来解读。许多钥匙是3。(偷偷告诉你的,别告诉厨子。)

(这里钥匙不小心和很久锁中的三个白 数字相同。这只是我巧合。)

解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方,即3次方。第二步求它们除以10(锁之一)的余数。

加密信息:1   7   2   5   6   2   9   4   5   1   8   5   4

三次乘方:1 343   8 125 216   8 729  64 125   1 512 125  64 (这里用的是钥匙的“3”)

除十得余:1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

正是人们都都发送的信息。对应字母表,总部能否立即知道原来的信息。

特工练习

再次强调,为了演示方便,取舍了简单的锁和钥匙。锁和钥匙只是我凑巧相同。为此,人们都都做三个白 小练习。

练习:总部新表态出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。

1) 作为特工,用上方的算法为信息加密(你由于须要许多编程来计算,尝试用Python的数学计算功能?)。

猜到钥匙是许多了呢?都有上方三个白 数字中的任何三个白 ,只是我143!

2) 作为值班人员,验证143是钥匙,能否解密信息。

为了简便,我能 只检验三个白 简单的信息,比如“IE”。

下面是我根据许多练习写的三个白 Python小应用线程池池。这里的转码用的是ASCII编码标准,而都有上方的A对应1,B对应2。

# By Vamei

#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
    return map(ord, original)

# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
    f = lambda x: (x**2987)%3937
    return map(f, input_list)

#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
    f = lambda x: (x**143)%3937
    return map(f, encrypted_list)

# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
    f = lambda x: str(unichr(x))
    result = map(f, decrypt_list)
    return "".join(result)

# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)

费马与欧拉

发觉自己被愚弄了,厨子很生气,后果很严重。厨子发奋想看 书,知道了许多加密法子叫RSA,是三为发名的故事人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发名的故事的。全称是RSA Public Key System。许多"Public Key"是公共密钥,也只是我人们都都上方说的锁。再读下去,厨子大窘。许多1977年的,现代计算机加密的RSA算法,你以为源于17世纪。

1. 费马小定律

RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出三个白 该定理的特殊形式,即“费马小定理”:

p是三个白 正的质数,a是任意三个白 越来越被p整除的整数。越来越,[$a^{p-1} - 1$]能被p整除。

人们都都并不须要太粗 入了解费马小定理,由于等下就会想看 许多定理的“升级版”。但许多定理依然很美妙,它优美的得到乘方和整除的一种生活生活特殊关系。使用三个白 例子来说明它。比如[$p = 7,a = 3$]。越来越费马小定律表示,[$3^{ 7 - 1} - 1$]能否被7整除。

事实上,上方的数字计算得到[$3^6 - 1 = 728$],它嘴笨 能否被7整除。

练习:尝试三个白 其它的例子,比如[$p = 5, a = 4$],验证费马小定律算是成立。

*** 数学小贴士:

1) 除 (divide),商余数:三个白 整数相除,有三个白 为整数的商,和三个白 余数。比如[$10/3 = 3, \,余1$]。人们都都用三个白 有点的法子记录许多叙述:

$$10 \equiv 1 (mod\, 3)$$

也能否写成另一种生活生活法子:

$$[10]_3 = [1]_3$$

许多表述法子与“10除以3,得3余1”原来的法子并越来越许多区别。但采用标准的数学法子更容易和别人交流。

由于人们都都知道:

$$[a]_n = [b]_n$$

越来越处于某个整数t,且:

$$a = nt + b$$

2) 整除 (divisible):当三个白 整数a除以原来整数b,余数为0时,越来越人们都都说a能否被b整除。比如说,4能否被2整除。即

$$[4]_2 = [0]_2$$

3) 质数 (prime number):三个白 质数是越来越被[$ \pm 1$]和许多数自身整除的整数(不包括[$ \pm 1$])。比如[$2,3,5,7,11,13$]等等。

******

费马是一名律师,也是一名业余数学家。他对数学贡献很大,堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信算是概率论的开端。还有“费马大定理”,由于称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想,并说:

我发现了三个白 美妙的证明,但由于空白太小而越来越写下来。

费马自己的证明越来越再被发现。“费马猜想”的证明是100多年后,以现代数学为工具证得的,而许多数学工具在费马的时代是不处于的。这由于现代的数学家怀疑费马是都有在吹牛。费马小定理是费马的原来定理。在费马那里,也还是个猜想。证明要等到欧拉。

应用线程池池员们:注释要删改啊!

2. 欧拉定律

时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著,几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉很久被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说,无神论者狄徳罗造访俄国,他宣称上帝并不处于,靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学,对上帝很虔诚。欧拉看不下去了,上前说,“先生,[$e^{i\pi} + 1= 0$],全都 上帝处于。请回答!” 狄徳罗败给许多难题,灰溜溜的走了。

(许多传说的可信度不高,由于狄徳罗自己也是一位颇有造诣的数学家。)

欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中,发现的三个白 适用性更广的定理。

首先定义三个白 函数,叫做欧拉Phi函数,即[$\phi(n)$],其中,n是三个白 正整数。

$$\phi(n) = 总数(从1到n-1,与n互质的整数)$$

比如5,越来越1,2,3,4,都与5互质。与5互质的数有三个白 。[$\phi(5) = 4$]

再比如6,与1,5互质,与2,3,4并不互质。怎么让,[$\phi(6) = 2$]

对于三个白 质数p来说,它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质,全都 [$\phi(p) = p - 1$]。比如[$\phi(7) = 6, \phi(11) = 10$]

*** “互质”的数学小贴士:

1) 因子 (factor):每个整数都能否写成质数相乘的形式,每个原来的质数称为该整数的三个白 因子。

2) 互质 (relative prime):由于三个白 整数越来越公共因子,许多个 质数互质。

******

欧拉定理叙述如下:

由于n是三个白 正整数,a是任意三个白 非0整数,且n和a互质。越来越,[$a^{\phi(n)} - 1$]能否被n整除。  (1)

由于质数p有[$\phi(p) = p - 1$]。怎么让,从欧拉定理能否推出费马小定理。人们都都能否只使用欧拉定理,把费马小定理抛到脑后了。人们都都用三个白 例子简单的检验欧拉定理。由于n是6,越来越[$\phi(6) = 2$]。让a是11,和6互质。[$11^2 - 1$]为120,嘴笨 能否被n,也只是我6整除,符合欧拉定理。

数学中还有三个白 关于Phi函数的推论

m和n是互质的正整数。越来越,[$\phi(mn) = \phi(m) \phi(n)$]        (2)

RSA西游记

下面人们都须要进入实质的证明。除了上方的(1)和(2)推论,还须要提前说明三个白 难题,即:

[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]        (3)

证明:假设a和b除以n的余数为[$c_1, c_2$]。a和b能否写成[$a = nt_1 + c_1, b = nt_2 + c_2$]。越来越,[$ab = n^2t_1t_2 + nt_1c_2 + nt_2c_1 + c_1c_2$]。怎么让ab除以n的余数为[$c_1c_2$]。即[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]。

根据此能否推论,[$[a^m]_n = [a]_n^m$]。

演一出叫做“西游记”的大戏,选角之前 开始了:

先取舍三个白 质数p和q,分别是沙和尚和白龙马。让[$n = pq$],n是唐僧。一路向西,唐僧靠的是沙和尚和白龙马出力:三个白 背行李,三个白 驮人。

而[$k = \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$]。这里使用了(2)以及“质数p的Phi函数值为p-1”。k是八戒,也只是我Phi(唐僧),只是我唐僧的三个白 跟屁虫。

取舍任意d,并保证它与k互质。d是观音。观音姐姐在高老庄,真的是把八戒给“质”了一把。

取整数e,使得[$[de]_k = [1]_k$]。也只是我说[$de = kt + 1$],t为某一整数。e是悟空,横行无忌。

人们都都记得公开的用来上锁的三个白 数字,它们分别是悟空e和唐僧n。悟空威力大,负责乘方。唐僧太唠叨:一切妖怪见到它,就变成了余数。悟空和唐僧战略战略合作,就把世界搞乱了。

总部的观音姐姐d看不下去了。观音姐姐威力也大,也是乘方。再逼着唐僧重新唠叨。世界就恢复了。

善哉,善哉!

人们都都看一下许多魔幻大片“西游记”的现实主义原理。根据欧拉定理(1),对于任意z,由于z与n互质,越来越:

$$[z^{\phi(n)}]_n = [z^k]_n = [1]_n$$

怎么让,

$$[z^{de}]_n = [z^{kt + 1}]_n = [(z^k)^tz]_n =  [z]_n$$

上方主要使用了[$de = kt + 1$]以及(3)。也只是我说:

$$[z^{de}]_n = [z]_n$$

根据(3)的推论,有

$$([z^e]_n)^d = [z]_n$$

妖怪z,经过e和d的各一道,又变回了妖!上方过程中,悟空e和观音d忙得不亦乐乎,唐僧n就在一旁边唠叨边打酱油了。

许多等式,也正是人们都都加密又解密的过程 (加密: 悟空次方 + 唐僧唠叨。解密: 观音次方 + 唐僧唠叨)。悟空和唐僧是公钥,扔出去亮相。观音是私钥,偷偷藏起来,必要的很久才出来。

(上方都默认余数是最小正余数,也只是我说,10除以3的余数为1,而都有4。尽管4也能否不能是10的余数,即[$[4]_3 = [10]_3$]。)

姐姐,饶了我吧。

3和8三个白 妖怪见到唐僧5,都被唠叨成了余数3。原来就观音姐姐就算法力无边,还是越来越还原。为了让唐僧求余的很久,不必把数字弄混了,RSA算法要求所有妖怪z小于唐僧n。为了对足够多的字符转码加密,n须要大过最大的妖怪。

但唐僧n大更重要的由于是要保护马仔。想破解,须要找到观音。回顾人们都都取舍角色的过程。人们都都能否原来破解:唐僧n是公开的,1) 先找到它的隐藏手下沙和尚和白龙马。2) 沙和尚和白龙马知道了,越来越二师兄k就保不住了。3) de = kt + 1,即找到三个白 e,能否让de - 1被k整除。观音姐姐就找到了。

上方的整个破解过程中,最困难的是第一步,即找到三个白 隐藏的打手。通常,p和q都会选的非常大,比如说100位。这由于唐僧n也非常大,有100位。寻找三个白 100位数字的质数分解并不容易,人们都须要做的除法运算次数相当于为[$\sqrt{10^{100}}/2$]。这是[$10^{199}$]次除法运算!天河2号每秒浮点运算是[$10^{16}$]级别。越来越,找到隐藏打手的工作,相当于须要[$10^{174}$]年……。许多活,看来越来越佛祖干了。

练习 由于唐僧不足英文大句子,马仔就危险了。想想很久的厨子,知道悟空是3,唐僧是10。隐藏打手是谁? 八戒呢? 观音呢?

总之,带头大哥不足英文“罩”句子,团伙就要被一窝端了。

总结

正如我在“数学与编程”中提到的,数学能算是应用线程池池员军火库涵盖力的武器。加密、解密许多事关IT安全的大课题,却和数论许多纯粹数学是科处于奇妙的关系。RSA算法的数学基础在于欧拉定理。许多诞生了几百年越来越许多实用性的数学理论,却在网络时代,找到自己的栖身之处。

RSA算法是非对称算法。公开的加密法子,私有的解密法子。RSA安全的关键在于好难对三个白 大的整数进行因子分解。下一次,由于想看 RSA被破解累似 的消息,卧底须要大喊一声:“不给力呀,老湿!”